数学のブログ

線積分 線積分の定義と計算 ベクトル場、曲線、放物線

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題1の解答を求めてみる。

問題の曲線、放物線のパラメーター表示とと区間について。

C ( t ) = ( t , t 2 ) - 2 ≤ t ≤ 1

求めるベクトル場の線積分。

∫ C F = ∫ C ( x 2 - 2 x y ) dx + ( y 2 - 2 x y ) dy = ∫ - 2 1 ( t 2 - 2 t 3 ) dt + ( t 4 - 2 t 3 ) 2 t dt = ∫ - 2 1 ( 2 t 5 - 4 t 4 - 2 x 3 + t 2 ) dt = [ 1 3 t 6 - 4 5 t 5 - 1 2 t 4 + 1 3 t 3 ] - 2 1 = 1 3 - 4 5 - 1 2 + 1 3 - 64 3 - 128 5 + 8 + 8 3 = 8 - 1 2 - 60 3 - 132 5 = - 12 - 1 2 - 132 5 = - 120 + 5 + 264 10 = - 389 10

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x^2-2x y, y^2-2 x y}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Show[
    Plot[x^2, {x, -5, 5}, PlotRange -> {-5, 5}],
    ParametricPlot[{t, t^2}, {t, -2, 1}, PlotStyle -> Green]
]
Output