線積分線積分の定義と計算ベクトル場、曲線、放物線 1

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題7の解答を求めてみる。

曲線、区間について。

\begin{array}{l} C (t) = (\frac{t^{2}}{4}, t) \\ 0 \leq t \leq 2 \end{array}

求める線分。

\begin{array}{l} \int_{C} F = \int_{0}^{2} (t^{2}, - \frac{t^{2}}{4}) \cdot (\frac{t}{2}, 1) dt \\ = \int_{0}^{2} (\frac{t^{3}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) dt \\ = {[\frac{1}{8} t^{4} - \frac{t^{3}}{12}]}_{0}^{2} \\ = 2^{3} (\frac{2}{8} - \frac{1}{12}) \\ = 2^{2} (\frac{2}{4} - \frac{1}{6}) \\ = 2 (1 - \frac{1}{3}) \\ = \frac{4}{3} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{y^2, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

ParametricPlot[{t^2/4, t}, {t, -3, 3}]