線積分線積分の定義と計算ベクトル場、曲線、放物線、直線、向き

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題9の解答を求めてみる。

問題の直線と放物線の一部で形成される閉じた道に沿う時針と反対の向きの曲線について。

\begin{array}{l} C_{1} (t) = (t^{2}, t) \\ - 1 \leq t \leq 1 \\ C_{2} (t) = (1, t) \\ - 1 \leq t \leq 1 \end{array}

求める曲線上でのベクトル場の積分。

\begin{array}{l} \int_{C} F = \int_{C_{1}} F + \int_{C_{2}} F \\ = \int_{1}^{- 1} ({(t^{2})}^{2} t^{2}, t^{2} \cdot t^{2}) \cdot (2 t, 1) dt + \int_{- 1}^{1} (t^{2}, t^{2}) \cdot (0, 1) dt \\ = - \int_{- 1}^{1} (2 t^{7} + t^{4}) dt + \int_{- 1}^{1} t^{2} dt \\ = - 2 {[\frac{1}{5} t^{5}]}_{0}^{1} + 2 {[\frac{t^{3}}{3}]}_{0}^{1} \\ = - \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \\ = \frac{- 6 + 10}{15} \\ = \frac{4}{15} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x^2y^2, x y^2}, {x, 0, 1}, {y, -1, 1},
            AspectRatio -> {1, 2}]

ParametricPlot[{{t^2, t}, {1, t}}, {t, -1, 1}]