数学のブログ

線積分 線積分の定義と計算 ベクトル場、曲線、放物線、パラメーター表示

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題12の解答を求めてみる。

問題の曲線、放物線のパラメーター表示について。

C ( t ) = ( 2 t 2 , t ) - 1 ≤ t ≤ 2

求める曲線の上でのベクトル場の積分。

∫ C F = ∫ - 1 2 ( 2 t 3 , 2 t 2 ) · ( 4 t , 1 ) dt = 2 ∫ - 1 2 ( 4 t 4 + t 2 ) dt = 2 [ 4 5 t 5 + 1 3 t 3 ] - 1 2 = 8 5 ( 32 + 1 ) + 2 3 ( 8 + 1 ) = 264 5 + 6 = 294 5

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x y, x}, {x, 0, 10}, {y, -5, 5}]
Output
ParametricPlot[{2t^2, t}, {t, -1, 2}]
Output