数学のブログ

線積分 線積分の定義と計算 ベクトル場、曲線、円、半径、極座標、三角関数(正弦と余弦)、反時計回り

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題10の解答を求めてみる。

曲線について。

0 ≤ t ≤ 2 π C ( t ) = ( 2 cos t , 2 sin t )

求める曲線の上でのベクトル場の積分。

∫ C F = ∫ 0 2 π ( 4 cos 2 t - 4 sin 2 t , 2 cos t ) · ( - 2 sin t , 2 cos t ) dt = 4 ∫ 0 2 π ( 2 cos 2 t - 2 sin 2 t , cos t ) · ( - sin t , cos t ) dt = 4 ∫ 0 2 π ( - 2 sin t + 4 sin 3 t + cos 2 t ) dt = 4 · 4 · π 2 · 1 2 = 4 π

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x^2-y^2, x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]
Output
ParametricPlot[2{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2Pi}]
Output