数学のブログ

線積分 線積分の定義と計算 ベクトル場、曲線、円、半径、極座標、三角関数(正弦と余弦)、反時計回り、偏微分、偏導関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題11の解答を求めてみる。

a

曲線のパラメーター表示について。

C ( t ) = ( 2 cos t , 2 sin t ) π 4 ≤ t ≤ π

求める問題の曲線の上でのベクトル場の積分。

∫ C F = ∫ π 4 π ( - 2 2 sin t , 2 cos t 2 ) · ( - 2 sin t , 2 cos t ) dt = ∫ π 4 π ( sin 2 t + cos 2 t ) dt = ∫ π 4 π 1 dt = π - π 4 = 3 4 π

b

0 ≤ t ≤ 2 π ∫ 0 2 π 1 dt = 2 π

c

C ( t ) = ( cos t , sin t ) 0 ≤ t ≤ 2 π ∫ 0 2 π ( - sin t , cos t ) · ( - sin t , cos t ) dt = 2 π

d

C ( t ) = ( r cos t , r sin t ) 0 ≤ t ≤ 2 π ∫ 0 2 π ( - r r 2 sin t , r r 2 cos t ) · ( - r sin t , r cos t ) dt = 2 π

e

∂ f ∂ y = - ( x 2 + y 2 ) + y · 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2
∂ g ∂ x = x 2 + y 2 - x · 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 + y 2 ( x 2 + y ) 2 2

よって、

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)}, {x, 1, 2}, {y, 1, 2}]
Output
VectorPlot[{-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)}, {x, -2, -1}, {y, 1, 2}]
Output
ParametricPlot[
    {Sqrt[2]{Cos[t], Sin[t]},
     {Cos[t], Sin[t]}},
    {t, 0, 2 Pi}
]
Output