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線積分 線積分の定義と計算 ベクトル場、曲線、円、半径、弧、極座標、三角関数(正弦と余弦)、累乗

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題8の解答を求めてみる。

問題の原点を中心とする半径2の円の第1象限内の弧に沿う曲線について、

C ( t ) = ( 2 cos t , 2 sin t ) π 0 ≤ t ≤ 2

よって、この曲線上での問題のベクトル場の積分は、

∫ C F = - ∫ 0 π 2 ( ( 2 cos t ) 2 - ( 2 sin t ) 2 , 2 cos t ) · ( - 2 sin t , 2 cos t ) dt = - 4 ∫ 0 π 2 ( 2 cos 2 t - 2 sin 2 t , cos t ) · ( - sin t , cos t ) dt = - 4 ∫ 0 π 2 ( 2 - 4 sin 2 t , cos t ) · ( - sin t , cos t ) dt = - 4 ∫ 0 π 2 ( - 2 sin t + 4 sin 3 t + cos 2 t ) dt = 8 ∫ 0 π 2 sin t dt + 16 ∫ 0 π 2 sin 3 t dt + 4 ∫ 0 π 2 cos 2 t dt = 8 · 1 - 16 · 2 3 - 4 · π 2 · 1 2 = 8 - 32 3 - π = - 8 3 - π

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x^2-y^2,x}, {x, -1, 4}, {y, -1, 4}]
Output
ParametricPlot[2{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, Pi / 2}]
Output