線積分線積分の定義と計算ベクトル場、力、正方形、周、質点、力

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題5の解答を求めてみる。

問題の正方形の周について。

\begin{array}{l} 0 \leq t \leq 3 \\ C_{1} (t) = (t, 0) \\ C_{2} (t) = (3, t) \\ C_{3} (t) = (3 - t, 3) \\ C_{4} (t) = (0, 3 - t) \end{array}

よって、問題のベクトル場、力によってなされるそれぞれの範囲の仕事は、

\begin{array}{l} \int_{C_{1}} F = \int_{0}^{3} (t^{2}, 0) \cdot (1, 0) dt \\ = \int_{0}^{3} t^{2} dt \\ = {[\frac{1}{3} t^{3}]}_{0}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} \int_{C_{2}} F = \int_{0}^{3} (9 - t^{2}, 6 t) \cdot (0, 1) dt \\ = \int_{0}^{3} 6 t dt \\ = {[3 t^{2}]}_{0}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} \int_{C_{3}} F = \int_{0}^{3} ({(3 - t)}^{2} - 9, 2 (3 - t) \cdot 3) \cdot (- 1, 0) dt \\ = \int_{0}^{3} (- 6 t + t^{2}) (- 1) dt \\ = {[- t^{3} + 3 t^{2}]}_{0}^{3} \end{array}

\int_{C_{a}} F = \int_{0}^{3} (- {(3 - t)}^{2}, 0) \cdot (0, - 1) = 0

よって、求める仕事は、

{[\frac{1}{3} x^{3} + 3 t^{2} - \frac{1}{3} t^{3} + 3 t^{2}]}_{0}^{3} = 54

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x^2-y^2, 2 x y}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]