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線積分 反対の向きの曲線 ベクトル場、正方形、周、両座標軸、直線、パラメーター表示、力、仕事

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、2(反対の向きの曲線)の練習問題2の解答を求めてみる。

問題の正方形の間に沿った直線のパラメーター表示。

0 ≤ t ≤ 3 C 1 = ( t , 0 ) 0 ≤ t ≤ 3 C 2 = ( 3 , t ) 0 ≤ t ≤ 3 C 3 = ( 3 - t , 3 ) 0 ≤ t ≤ 3 C 4 = ( 0 , 3 - t )

問題の力によってなされる仕事。

∫ C F = ∫ 0 3 ( t 2 , 0 ) · ( 1 , 0 ) dt + ∫ 0 3 ( 9 - t 2 , 6 t ) · ( 0 , 1 ) dt + ∫ 0 3 ( ( 3 - t ) 2 - 9 , 2 ( 3 - t ) · 3 ) · ( - 1 , 0 ) dt + ∫ 0 3 ( - ( 3 - t ) 2 , 0 ) · ( 0 , - 1 ) dt = ∫ 0 3 ( t 2 + 6 t - 9 + 6 t - t 2 + 9 ) dt = 12 ∫ 0 3 t dt = 6 [ t 2 ] 0 3 = 54

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    VectorPlot[{x^2-y^2, 2 x y}, {x, -1, 4}, {y, -1, 4}],
    Graphics[
        Arrow[
            {{0, 0}, {3, 0}, {3, 3}, {0, 3}, {0, 0}}
        ]
    ]
]
Output