数学のブログ

線積分 反対の向きの曲線 ベクトル場、正方形、周、パラメーター表示

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、2(反対の向きの曲線)の練習問題1の解答を求めてみる。

問題の正方形の国に沿う直線について。

1 ≤ t ≤ 3 C 1 ( t ) = ( 3 , t ) 3 ≤ t ≤ 5 C 2 ( t ) = ( t , 3 ) 0 ≤ t ≤ 2 C 3 ( t ) = ( 5 , 3 - t ) 0 ≤ t ≤ 2 C 4 ( t ) = ( 5 - t , 1 )

求めるベクトル場の積分。

∫ C F = ∫ C 1 F + ∫ C 2 F + ∫ C 3 F + ∫ C 4 F = ∫ 1 3 ( 6 t , - 9 t ) · ( 0 , 1 ) dt + ∫ 3 5 ( 6 t , - 9 t ) · ( 1 , 0 ) dt + ∫ 0 2 ( 30 - 10 t , - 45 + 15 t ) · ( 0 , - 1 ) dt + ∫ 0 2 ( 10 - 2 t , - 15 + 3 t ) · ( - 1 , 0 ) dt = - 9 ∫ 1 3 t dt + 6 ∫ 3 5 t dt + 15 ∫ 0 2 ( 3 - t ) dt + 2 ∫ 0 2 ( t - 5 ) dt = - 9 2 [ t 2 ] 1 3 + 3 [ t 2 ] 3 5 + 15 [ 3 t - 1 2 t 2 ] 0 2 + 2 [ 1 2 t 2 - 5 t ] 0 2 = - 9 2 · 8 + 3 · 16 + 15 ( 6 - 2 ) + 2 ( 2 - 10 ) = - 36 + 48 + 60 - 16 = 56

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{2x y, -3x y}, {x, 3, 5}, {y, 1, 3}]
Output
Show[
    ParametricPlot[{3, t}, {t, 1, 3}],
    ParametricPlot[{t, 3}, {t, 3, 5}],
    ParametricPlot[{5, 3 - t}, {t, 0, 2}],
    ParametricPlot[{5 - t, 1}, {t, 0, 2}]
]
Output