数学のブログ

線積分ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分開集合、道、始点と終点

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{P, C}^{Q} F = \sum_{k = 1}^{m} \int_{P_{i}, C_{i}}^{Q_{i}} F \\ = \sum_{k = 1}^{m} (φ (Q_{i}) - φ (P_{i})) \end{array}

ここで、

\begin{array}{l} i = 1, \dots, m - 1 \\ φ (Q_{i + 1}) = φ (P_{i}) \end{array}

なので、

\begin{array}{l} \int_{P, C}^{Q} F = φ (Q_{1}) - φ (P_{m}) \\ = φ (Q) - φ (P) \end{array}