数学のブログ

線形写像 線形写像の空間 ノルム空間、上限、最大値

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.2(線形写像の空間)、問題1の解答を求めてみる。

a

| L ( x ) |

は実連続関数なので、閉区間

| x | ≤ 1

において、

max | x | ≤ 1 | L ( x ) | = sup | x | ≤ 1 | L ( x ) | = ∥ L ∥

b

| x | = 1
| L ( x ) | = | L ( ∑ k = 1 n c k x k ) | ≤ ∑ k = 1 n | c k | | L ( x k ) |

よって、

| x | ≤ 1

において、

| x | = 1

のとき、 L(x）は最大となるので、

∥ L ∥ = max | x | = 1 | L ( x ) |