数学のブログ

線形写像線形写像と行列線形写像の合成写像、和とスカラー倍

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題2の解答を求めてみる。

Vの任意の元v、 w に対して、

\begin{array}{l} (M \circ L) (v + w) \\ = M (L (v + w)) \\ = M (L (v) + L (w)) \\ = M (L (v)) + M (L (w)) \\ = (M \circ L) (v) + (M \circ L) (w) \end{array}

また、体F の任意の元cに対して、

\begin{array}{l} (M \circ L) (c v) \\ = M (L (c v)) \\ = M (c L (v)) \\ = c M (L (v)) \\ = c (M \circ L) (v) \end{array}

よって、線形写像M、Lの合成写像も線形写像である。

（証明終）