数学のブログ

線形写像 線形写像と行列 積の階数、次元、像と核、合成写像

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題10の解答を求めてみる。

A を m x n 行列、Bを l x m 行列とする。

行列に対応する線形写像、合成写像の像について考えれば、

r a n k ( B A ) ≤ r a n k B

また、 核について考えれば、

dim ker L A ≤ dim ker L B A

よって、

n - r a n k A ≤ n - r a n k ( B A ) r a n k ( B A ) ≤ r a n k A

ゆえに、

r a n k ( B A ) ≤ min { r a n k A , r a n k B }

（証明終）