線形写像線形写像と行列正方行列、可逆行列、階数、同次連立1次方程式、自明な解、基底、一次独立、全単射、可逆な線形変換

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題7の解答を求めてみる。

Aが可逆、すなわち線形写像

L_{A} : F^{n} \to F^{n}

が可逆な線形変換ならば、列ベクトル

{a_{1}, \dots, a_{n}}

は

F^{n}

の基底をなす。

すなわち1次独立なので、

r a n k A = n

また、このとき、同様に1次独立であることから、同次連立1次方程式

A x = O

は自明な解

x = O

しかもたない。

また、可逆な線形変換、すなわち全単射なので、任意の

b \in F^{n}

に対して

A x = b

を満たす

x \in F^{n}

が存在する。

同次連立1次方程式

A x = O

が自明な解しかもたないとき、

L_{A} : F^{n} \to F^{n}

は単射、すなわち全単射なので可逆な線形変換である。

よって、

r a n k A = n

任意の

F^{n}

の元bに対して、

A x = b

を満たす

F^{n}

の元x が存在するとき_

L_{A} : F^{n} \to F^{n}

は全射、すなわち全単射である。よっても逆な線形変換なので、

r a n k A = n

r a n k A = n

ならば、

{a_{1}, \dots, a_{n}},

は1次独立なので、

L_{A} : F^{n} \to F^{n}

は可逆な線形変換である。

よって、行列Aは可逆である。

以上より、問題の 1～4 の条件は互いに同値である。

（証明終）