数学のブログ

線形写像 線形写像と行列 和の階数と階数の和、不等式、烈ベクトルによって生成されるベクトル空間、部分集合

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題8の解答を求めてみる。

A、 Bをm × n 型の行列とする。

A = ( a 1 , … , a n ) B = ( b 1 , … , b n )
a 1 , … , b n , b 1 , … , b n

によって生成されるベクトル空間とVとすると、 Vの次元は

r a n k A + r a n k B

以下である。

dim V ≤ r a n k A + r a n k B

また、

a 1 + b 1 , … , a n + b n

によって生成されるベクトル空間をWとすると、

j = 1 , … , n a j + b j ∈ V

なので、 WはVに含まれる。

よって、

dim W ≤ dim V

また、

r a n k ( A + B ) ≤ dim W

である。

ゆえに、

r a n k ( A + B ) ≤ r a n k A + r a n k B

である。

（証明終）