線形写像線形写像と行列全単射、同形写像の逆写像

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題1の解答を求めてみる。

vを V の任意の元とすると、

\begin{array}{l} L (v) \in W \\ L^{- 1} (L (v)) = v \end{array}

よって、 Lの逆写像は全射である。

w_{1}, w_{2}

をWの任意の元とする。

L^{- 1} (w_{1}) = L^{- 1} (w_{2})

ならば、

\begin{array}{l} L (L^{- 1} (w_{1})) = L (L^{- 1} (w_{2})) \\ w_{1} = w_{2} \end{array}

よって、 Lの逆写像は単射である。

また、 Lは全射なので、ある

v_{1}, v_{2} \in V

が存在して、

\begin{array}{l} L (v_{1}) = w_{1} \\ L (v_{2}) = w_{2} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} L (v_{1}) + L (v_{2}) = w_{1} + w_{2} \\ L (v_{1} + v_{2}) = w_{1} + w_{2} \\ L^{- 1} (L (v_{1} + v_{2})) = L^{- 1} (w_{1} + w_{2}) \\ L^{- 1} (w_{1} + w_{2}) = v_{1} + v_{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} L^{- 1} (w_{1}) = v_{1} \\ L^{- 1} (w_{2}) = v_{2} \end{array}

よって、

L^{- 1} (w_{1} + w_{2}) = L^{- 1} (w_{n}) + L^{- 1} (w_{2})

任意のFの元cに対して、

\begin{array}{l} L (L^{- 1} (c w_{1})) = c w_{1} = c L (v_{1}) = L (c v_{1}) \\ L^{- 1} (c w_{1}) = c v_{1} = c L^{- 1} (w_{1}) \end{array}

よって、Lの逆写像は線形写像である。

ゆえに、Lの逆写像は同形写像である。

（証明終）