数学のブログ

整数 約数と倍数 除法の定理、整除の一意性、自然数の整列性

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問21の解答を求めてみる。

a > 0 , b ≥ 0

の場合。

S = { n ∈ ℕ | b < n a }

とおく。

このとき 自然数の整列性により、Sは最小元をもつ。

その最小元を

q + 1

とする。

このとき、

q + 1 ≥ 1 q ≥ 0

また、

q < q + 1

なので、

q ∉ S

よって、

q a ≤ b < ( q + 1 ) a b = q a + ( b - q a ) 0 ≤ b - q a < α

ゆえに、

r = b - q a

とおけば、

b = q a + r , 0 ≤ r < | a |

よって、 整数q 、 r は存在する。

また、

b = q ' a + r ' , 0 ≤ r ' < | a |

とすると、

q a + r = q ' a + r ' ( q - q ' ) a = r ' - r

で、

q > q '

と仮定すると、

( q - q ' ) a ≥ a > r ' - r

となり矛盾。

q < q '

の場合も同様にして矛盾。

よって、

q = q '

このとき、

r = r '

ゆえに商と剰余が一意的に定まる。

a < 0 , b ≥ 0

の場合。

b = ( - a ) q + r , 0 ≤ r < | - a | b = a ( - q ) + r , 0 ≤ r < | a |

て満たす

- q , r

が一意的に定まる。

a > 0 , b < 0

のとき、

- b = a q + r , 0 ≤ r < | a | = a b = a ( - q ) - r b = a ( - q + 1 ) + ( a - r ) , 0 ≤ a - r < | a |

（証明終）