数学のブログ

整数 約数と倍数 自然数の基本性質、整列性、数学的帰納法の原理

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問20の解答を求めてみる。

A c ≠ ϕ

と仮定する。

このとき、 このAの補集合はその中で最小元aを持つ。

1の

1 ∈ A

より、

a ≠ 1

このとき、

a ≥ 2 a - 1 ≥ 1

よって、

a - 1

は自然数であり、また、

a - 1 < a

なので、仮定より、

a - 1

はAの元である。

よって、2より

( a - 1 ) + 1 = a

はAの元である。

これは矛盾。

よって、Aの補集合は空集合、すなはらAは自然数全体の集合である。

A c = ϕ A = ℕ

逆について。

Sを空でない自然数の部分集合とする。

S ⊂ ℕ ∧ S ≠ ϕ

また集合Aを

A = { n ∈ ℕ | ∀ m ∈ S [ n ≤ m ] }

とおく。

このとき、

1 ∈ A

また、 あるSの元mが存在して、

m + 1 ∉ A

よって、

A ≠ ℕ

ゆえに、

a ∈ A , a + 1 ∉ A

を満たす自然数aが存在する。

aがS の元ではないと仮定すると、

a + 1 ∈ A

となり矛盾。

よって、 aはSの元である。

ゆえに、aはSの最小元である。

以上より、 自然数に関する二つの基本性質、自然数の整列性と数学的帰納の原理は同値である。

（証明終）