数学のブログ

整数 約数と倍数 平方数、連続する三つの正整数の積

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問19の解答を求めてみる。

m ∈ ℤ , m > 0 m ( m + 1 ) ( m + 2 )

が平方数であると仮定する。

( m , m + 1 ) = 1 ∧ ( m + 1 , m + 2 ) = 1

が成り立つので、

m + 1

は平方数である。

すなわち、ある正の整数aが存在して、

m + 1 = a 2

このとき、

m = a 2 + 1

また、

m + 1

が平方数なので

m ( m + 2 )

も平方数で ある。

よってある正の整数bが存在して、

m ( m + 2 ) = b 2

ゆえに、

b 2 = m 2 + 2 m = ( m + 1 ) 2 - 1 = ( a 2 ) 2 - 1 ( a 2 ) 2 - b 2 = 1

ここで、

a 2

は正の整数である。

しかし、 正の整数の平方の差が1になることはないので、これは矛盾。

よって、 連続する3つの正整数の積は平方数にはなりえない。

（証明終）