多変数の関数積分記号下の微分指数関数、平方、積

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.5(積分記号下の微分)、問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{d}{d a} \int_{0}^{+ \infty} e^{- a x^{2}} dx = - \int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- a x^{2}} dx \\ \frac{d^{2}}{d a^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- a x^{2}} dx = \int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{- a x^{2}} dx \\ ⋮ \\ \frac{d^{n}}{d a^{n}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- a x^{2}} dx = {(- 1)}^{n} \int_{0}^{+ \infty} x^{2 n} e^{- a x^{2}} dx \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d}{d a} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} = \frac{\sqrt{π}}{2} \cdot a^{- \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{π}}{2} (- \frac{1}{2}) a^{- \frac{3}{2}} = - \frac{\sqrt{π}}{2^{2}} a^{- \frac{3}{2}} \\ \frac{d^{2}}{d a^{2}} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} = \frac{3 \sqrt{π}}{2^{3}} a^{- \frac{5}{2}} \\ ⋮ \\ \frac{d^{n}}{d a^{n}} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} = {(- 1)}^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2^{n + 1}} a^{- \frac{2 n + 1}{2}} \sqrt{π} \end{array}

aに1を代入すれば、

\begin{array}{l} {(- 1)}^{n} \int_{0}^{+ \infty} x^{2 n} e^{- x^{2}} dx = {(- 1)}^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2^{n + 1}} \sqrt{π} \\ \int_{0}^{+ \infty} x^{2 n} e^{- x^{2}} dx = \frac{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2^{n + 1}} \sqrt{π} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

Plot[Exp[-x^2], {x, -5, 5}]

Plot[Evaluate[Table[Exp[-x^2]x^(2n), {n, 1, 5}]], {x, -5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]