多変数の関数積分記号下の微分平方、平方根、円周率

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.5(積分記号下の微分)、問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial a} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dx}{a + x^{2}} d x = - \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{{(a + x^{2})}^{2}} dx \\ \frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dx}{a + x^{2}} dx = {(- 1)}^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{2}{{(a + x^{2})}^{3}} dx \\ \frac{\partial^{3}}{\partial a^{3}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dx}{a + x^{2}} dx = {(- 1)}^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{2 \cdot 3}{{(a + x^{2})}^{4}} dx \end{array}

\begin{array}{l} \frac{\partial^{n}}{\partial a^{n}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dx}{a + x^{2}} dx \\ = \frac{\partial}{\partial a} {(- 1)}^{n - 1} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{(n - 1)!}{{(a + x^{2})}^{n}} dx \\ = {(- 1)}^{n} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{n!}{{(a + x^{2})}^{n + 1}} dx \end{array}

よって、帰納法により、これはすべての

n \in ℕ \ {0}

に対して成り立つ。

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial a} \frac{π}{\sqrt{a}} = \frac{\partial}{\partial a} π a^{- \frac{1}{2}} = - \frac{1}{2} π a^{- \frac{3}{2}} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}} \frac{π}{\sqrt{a}} = {(- 1)}^{2} \frac{3}{2^{2}} π a^{- \frac{5}{2}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial^{n}}{\partial a^{n}} \frac{π}{\sqrt{n}} = {(- 1)}^{n} \frac{3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2^{n}} π a^{- \frac{2 n + 1}{2}} \end{array}

よって、

{(- 1)}^{n} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{n!}{{(a + x^{2})}^{n + 1}} dx = {(- 1)}^{n} \frac{3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2^{n k}} π a^{- \frac{2 n + 1}{2}}

aに1を代入して整理すると、

\begin{array}{l} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{n!}{{(1 + x^{2})}^{n + 1}} dx = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2^{n}} π \\ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{n!}{{(1 + x^{2})}^{n + 1}} dx = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2 n)} π \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

Plot[1/(2+x^2), {x, -10, 10}]

Plot[Evaluate[Table[1/(1+x^2)^(n+1), {n, 5}]], {x, -5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]