数学のブログ

多変数の関数 積分記号下の微分 三角関数、正弦、平方、倍角、加法定理、広義積分、極限、逆正接関数

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.5(積分記号下の微分)、問題1の解答を求めてみる。

∫ 0 + ∞ 1 - cos ( 2 x ) x 2 dx = ∫ 0 + ∞ 1 x 2 ( 1 - cos 2 x + sin 2 x ) dx = ∫ 0 + ∞ 1 x 2 ( 1 - ( 1 - sin 2 x ) + sin 2 x ) dx = ∫ 0 + ∞ 2 sin 2 x x 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ ( sin x x ) 2 dx

よって、

∫ 0 + ∞ ( sin x x ) 2 dx = 1 2 ∫ 0 + ∞ 1 - cos ( 2 x ) x 2 dx = 1 2 lim a → 0 2 arctan 2 a = lim a → 0 arctan 2 a = π 2

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

Integrate[(Sin[x]/x)^2, {x, 0, Infinity}]
Output
Plot[(Sin[x] / x)^2, {x, 0, 10}]
Output
Plot[(Sin[x] / x)^2, {x, 0, 10}, PlotRange -> {0, 0.1}]
Output