数学のブログ

ポテンシャル関数 積分記号下の微分 対数関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、5(積分記号下の微分)の練習問題7の解答を求めてみる。

D 1 ψ ( x , y ) = log ( x y ) x D 2 ψ ( x , y ) = ∫ 1 x t t 2 y dt = 1 y ∫ 1 x 1 t dt = 1 y ∫ 1 x 1 t dt = 1 y [ log t ] 1 x = log x y

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Integrate[Log[t y]/t, {t, 1, x}]
Output
f[x_, y_] := (-Log[y]^2+Log[x y]^2)/2

D[f[x, y], x]
Output
D[f[x, y], y]
Output
% // Simplify
Output
Plot3D[f[x, y], {x, 1, 5}, {y, 1, 5}, AxesLabel -> Automatic]
Output