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ポテンシャル関数局所的存在定理の証明積分、微分、微分積分学の基本定理

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、6(局所的存在定理の証明)の練習問題1の解答を求めてみる。

F = (f_{1}, f_{2}, f_{3})

を3次元空間内の直方体内部で定義されたベクトル場とし、

f_{1}, f_{2}, f_{3}

はそれぞれ連続な偏導関数をもつとする。

また、

\begin{array}{l} D_{1} f_{2} = D_{2} f_{1} \\ D_{1} f_{3} = D_{3} f_{1} \\ D_{2} f_{3} = D_{3} f_{2} \end{array}

が成り立つとする。

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

を直方体内の任意の点とする。

φ (x, y, z) = \int_{x_{0}}^{x} f_{1} (t, y, z) dt + u (y) + v (z)

とおく。

このとき、

\frac{\partial φ}{\partial x} = f_{1} (x, y, z)

また、

\begin{array}{l} D_{2} φ (x, y, z) = \int_{x_{0}}^{x} D_{2} f_{1} (t, y, z) dt + \frac{\partial u}{\partial y} \\ = \int_{x_{0}}^{x} D_{1} f_{2} (t, y, z) dt + \frac{\partial u}{\partial y} \\ = f_{2} (x, y, z) - f_{2} (x_{0}, y, z) + \frac{\partial u}{\partial y} \end{array}

よって、

u (y) = \int f_{2} (x_{0}, y, z) dy

とおくと、

D_{2} φ (x, y, z) = f_{2} (x, y, z)

また、

\begin{array}{l} D_{3} φ (x, y, z) = \int_{x_{0}}^{x} D_{3} f_{1} (t, y, z) dt + \frac{\partial v}{\partial z} \\ = \int_{x_{0}}^{x} D_{1} f_{3} (t, y, z) dt + \frac{\partial v}{\partial z} \\ = f_{3} (x, y, z) - f_{3} (x_{0}, y, z) + \frac{\partial v}{\partial z} \end{array}

よって、

v (z) = \int f_{3} (x_{0}, y, z) dz

とおくと、

D_{3} φ (x, y, z) = f_{3} (x, y, z)

ゆえに、

φ (x, y, z) = \int_{x_{0}}^{x} f_{1} (t, y, z) dt + u (y) + v (z)

はポテンシャル関数である。

すなわち、ベクトル場Fはポテンシャル関数をもつ。

（証明終）