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ポテンシャル関数 とくに重要なベクトル場 逆余弦関数、偏導関数、勾配ベクトル

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、4(とくに重要なベクトル場)の練習問題3の解答を求めてみる。

∂ ∂ x ψ ( x , y ) = - 1 1 - ( x r ) 2 · 1 r 2 ( r - x 2 r ) = - r r 2 - x 2 · 1 r 2 · r 2 - x 2 r = - r 2 - x 2 r 2 r 2 - x 2 = - r 2 - x 2 r 2 = - y 2 r 2 = - y x 2 + y 2
∂ ∂ y ψ ( x , y ) = - 1 1 - ( x r ) 2 · 1 r 2 ( - x ) · y r = r x y r 3 r 2 - x 2 = x y r 2 y 2 = x y r 2 y = x x 2 + y 2

よって、

g r a d ψ ( x , y ) = G ( x , y )

ゆえに、

ψ ( x , y ) = arccos x r

は問題のベクトル場合のポテンシャル関数である。

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

VectorPlot[{-y / (x^2+y^2), x/(x^2+y^2)}, {x, 0.1, 2}, {y, 0.5, 1}]
Output
Plot3D[ArcCos[x/Sqrt[x^2+y^2]], {x, -0.1, 2}, {y, 0.5, 1}]
Output