数学のブログ

ポテンシャル関数 とくに重要なベクトル場 偏導関数、勾配ベクトル

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、4(とくに重要なベクトル場)の練習問題2の解答を求めてみる。

D 1 ψ ( x , y ) = - 1 1 + ( x y ) 2 · 1 y = - 1 y + x 2 y = - y x 2 + y 2
D 2 ψ ( x , y ) = - 1 1 + ( x y ) 2 ( - x y 2 ) = x x 2 + y 2

よって、

g r a d ψ ( x , y ) = G ( x , y )

なので問題のベクトル場のポテンシャル関数である。

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

VectorPlot[{-y / (x^2+y^2), x/(x^2+y^2)}, {x, 0.5, 2}, {y, 0.5, 2}]
Output
Plot3D[-ArcTan[x/y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output