ベクトル積ベクトル積の定義簡単なベクトル積微分可能なベクトル置関数、2階微分、それ自身とのベクトル積、零ベクトル

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内積・外積・空間図形を通してベクトルを深く理解しよう (数学のかんどころ 1) (飯高茂(著, 編集)、中村滋(編集)、岡部恒治(編集)、桑田孝泰(編集)、共立出版)の第3章(ベクトル積)、3.2(ベクトル積の定義)、簡単なベクトル積の性質の問題3.3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} (f \times g)' \\ = (f_{2} g_{3} - f_{3} g_{2}, f_{3} g_{1} - f_{1} g_{3}, f_{1} g_{2} - f_{2} g_{1})' \\ = (f_{2}' g_{3} + f_{2} g_{3}' - f_{3}' g_{2} - f_{2} g_{3}', \\ f_{3}' g_{1} + f_{3} g_{1}' - f_{1}' g_{3} - f_{1} g_{3}', \\ f_{1}' g_{2} + f_{1} g_{2}' - f_{2}' g_{1} - f_{2} g_{1}') \\ = (f_{2}' g_{3} - f_{3}' g_{2}, f_{3}' g_{1} - f_{1}' g_{3}, f_{1}' g_{2} - f_{2}' g_{1}) \\ + (f_{2} g_{3}' - f_{3} g_{2}', f_{3} g_{1}' - f_{1} g_{3}', f_{1} g_{2}' - f_{2} g_{1}') \\ = f' \times g + f \times g' \end{array}

\begin{array}{l} (f \times f')' \\ = f' \times f' + f \times f'' \\ = (0, 0, 0) + f \times f'' \\ = f \times f'' \end{array}