“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ集合の要素の個数に関する公式約数、最小公倍数、包含と排除の原理(包除原理)

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.2(組合せ)、集合の要素の個数に関する公式の問31、32の解答を求めてみる。

問31

4で割り切れる数の個数。

[\frac{1000}{4}] = 250

6で割り切れる数の個数。

[\frac{1000}{6}] = 166

10で割り切れる数の個数。

[\frac{1000}{10}] = 100

4と6の最小公倍数は 12。 12で割り切れる数の個数。

[\frac{1000}{12}] = 83

4と10の最小公倍数は20。 20で割り切れる数の個数。

[\frac{1000}{20}] = 50

6と10の最小公倍数は30。30で割り切れる数の個数。

[\frac{1000}{30}] = 33

4と6と10の最小公倍数は60。 60で割り切れる米久の個数。

[\frac{1000}{60}] = 16

よって、求める4、 6 、 10のいずれかで割り切れる数の個数は、

\begin{array}{l} 250 + 166 + 100 - 83 - 50 - 33 + 16 \\ = 366 \end{array}

1000 - 366 = 634

問32

\begin{array}{l} [\frac{10000}{6}] + [\frac{10000}{10}] + [\frac{10000}{15}] - [\frac{10000}{30}] - [\frac{10000}{30}] - [\frac{10000}{30}] + [\frac{10000}{30}] \\ = 1666 + 1000 + 666 - 2 \cdot 333 \\ = 2666 \end{array}

10000 - 2666 = 7334