“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ集合の要素の個数に関する公式互いに素である数の個数、素数、素因数分解、最小公倍数

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.2(組合せ)、集合の要素の個数に関する公式の問33の解答を求めてみる。

720 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5

1から720までの自然数で2で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{2}] = 360

3で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{3}] = 240

5で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{5}] = 144

2と3の最小公倍数6 で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{6}] = 120

2と5の最小公倍数10で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{10}] = 72

3と5の最小公倍数15で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{15}] = 48

2と3と5の最小公倍数30で割り切れる数の個数。

[\frac{720}{30}] = 24

\begin{array}{l} 360 + 240 + 144 - 120 - 72 - 48 + 24 \\ = 528 \end{array}

よって、 720と互いに素である数の個数は、

720 - 528 = 192