“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ重複組合せ方程式、負でない整数解、複数のサイコロの目の出方、みかんとりんごの分け方

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.2(組合せ)、重複組合せの問24、25、26の解答を求めてみる。

間24

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 10 + 3 - 1 \\ 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ 10 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}) \\ = \frac{12 \cdot 11}{2} \\ = 66 \end{array}

組。

問25

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 6 + 6 - 1 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 11 \\ 5 \end{matrix}) \\ = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \\ = 462 \end{array}

通り。

間26

\begin{array}{l} (\begin{matrix} (7 - 3) + 3 - 1 \\ 7 - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} (6 - 3) + 3 - 1 \\ 6 - 3 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \\ = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2} \\ = 150 \end{array}

通りの分け方がある。