“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ同じものがあるときの順列東西南北、碁盤の目、経路

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.2(組合せ)、同じものがあるときの順列の問23の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 6 + 5 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 11 \\ 5 \end{matrix}) \\ = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \\ = 462 \end{array}

通り。

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \\ = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} \\ = 7 \cdot 6 \cdot 5 \\ = 210 \end{array}

通り。

462 - 210 = 252

通り。

\begin{array}{l} 210 - (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \\ = 210 - \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 3 \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} \\ = 210 - 108 \\ = 102 \end{array}

通り。