“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理、展開

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、二項定理の問36、37の解答を求めてみる。

問36

\begin{array}{l} {(a + 2 b)}^{4} \\ = a^{4} + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) a^{3} 2 b + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) a^{2} {(2 b)}^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) a {(2 b)}^{3} + {(2 b)}^{4} \\ = a^{4} + 8 a^{3} b + 24 a^{2} b^{2} + 32 a b^{3} + 16 b^{4} \end{array}

\begin{array}{l} {(x - y)}^{5} \\ = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} (- y) + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} {(- y)}^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} {(- y)}^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x {(- y)}^{4} + {(- y)}^{5} \\ = x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} - y^{5} \end{array}

\begin{array}{l} {(2 + x)}^{6} \\ = 2^{6} + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) 2^{5} x + (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) 2^{4} x^{2} + (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) 2^{3} x^{3} + (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) 2^{2} x^{4} + (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) 2 x^{5} + x^{6} \\ = 64 + 192 x + 240 x^{2} + 160 x^{3} + 60 x^{4} + 12 x^{5} + x^{6} \end{array}

\begin{array}{l} {(2 x - 3 y)}^{7} \\ = {(2 x)}^{7} + (\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}) {(2 x)}^{6} (- 3 y) + (\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix}) {(2 x)}^{5} {(- 3 y)}^{2} + (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) {(2 x)}^{4} {(- 3 y)}^{3} \\ + (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) {(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{4} + (\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix}) {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{5} + (\begin{matrix} 7 \\ 6 \end{matrix}) (2 x) {(- 3 y)}^{6} + {(- 3 y)}^{7} \\ = 128 x^{7} - 1344 x^{6} y + 6048 x^{5} y^{2} - 15120 x^{4} y^{3} \\ + 22680 x^{3} y^{4} - 20412 x^{2} y^{5} + 10206 x y^{6} - 2187 y^{7} \end{array}

問37

{(a - b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{k} {(- b)}^{n - k}

{(1 - x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(- x)}^{k}