数学のブログ

行列行列の演算積、可換

手を動かしてまなぶ線形代数
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学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第1章(行列)、2(行列の演算)、基本問題の問2.4の解答を求めてみる。

2.4-1
ある2つの行列A、 B が

A B = B A

を満たすとき、可換という。

2.4-2

[\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & a^{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} a^{2} & a \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a^{2} & 2 a \\ 0 & a^{2} \end{matrix}]

[\begin{matrix} a^{2} & a \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & a^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a^{2} & 2 a^{3} \\ 0 & a^{2} \end{matrix}]

よって可換ならば、

\begin{array}{l} 2 a = 2 a^{3} \\ a (a^{2} - 1) = 0 \\ a = 0, \pm 1 \end{array}