行列行列の定義積分、三角関数、正弦と余弦、加法定理、倍角、クロネッカーのデルタ

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第1章(行列)、1(行列の定義)、基本問題の問1.9の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{2}{π} \int_{0}^{π} \sin (m x) \sin (n x) dx \\ = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} \frac{\cos ((m - n) x) - \cos ((m + n) x)}{2} dx \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (\cos ((m - n) x) - \cos ((m + n) x)) dx \end{array}

m = n

のとき、

\begin{array}{l} \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \cos (2 m x)) dx = \frac{1}{π} {[x - \frac{1}{2 m} \sin (2 m x)]}_{0}^{π} \\ = 1 \\ = δ_{m n} \end{array}

m \neq n

のとき、

\frac{1}{π} {[\frac{1}{m - n} \sin ((m - n) x) - \frac{1}{m + n} \sin ((m + n) x)]}_{0}^{π} = 0 = δ_{m n}

よって

\frac{2}{π} \int_{0}^{π} \sin (m x) \sin (n x) dx = δ_{m n}

が成り立つ。