数学のブログ

行列式連立1次方程式と行列式重根をもつ必要十分条件、係数

線形代数演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-1(連立1次方程式と行列式)、問題5の解答を求めてみる。

重根をもつ場合、それを

x_{0}

とおくと、

\begin{array}{l} f (x_{0}) = 0 \\ f' (x_{0}) = 0 \end{array}

\begin{array}{l} a x_{0}^{2} + b x_{0} + c = 0 \\ 2 a x_{0} + b = 0 \\ 2 a x_{0}^{2} + b x_{0} = 0 \end{array}

4より、

\det [\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & 2 a & b \\ 2 a & b & 0 \end{matrix}] = 0

\begin{array}{l} 2 a b^{2} - a b^{2} - 4 a^{2} c = 0 \\ a (b^{2} - 4 a c) = 0 \\ b^{2} - 4 a c = 0 \end{array}

また、

b^{2} - 4 a c = 0

ならば、

f (x) = 0

は重根をもつ。