数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 無現等比級数 部分和、極限、収束、場合分け、関数

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問24の解答を求めてみる。

数列の一般頃。

a n = x 2 ( 1 + x 2 ) n

部分和。

x = 0

の場合、

x ≠ 0 S n = ∑ k = 1 n x 2 ( 1 + x 2 ) k = x 2 1 + x 2 · 1 - ( 1 1 + x 2 ) n 1 - ( 1 1 + x 2 ) = x 2 1 + x 2 - 1 ( 1 - 1 1 + x 2 ) n = 1 - ( 1 1 + x 2 ) n

また、

1 1 + x 2 < 1

よって、

∑ n = 1 ∞ x 2 ( 1 + x 2 ) n = lim n → ∞ S n = 1
x = 0

の場合。

a n = 0

なので、

∑ n = 1 ∞ x 2 1 + x 2 = 0

よって、問題の無限級数は任意の実数 xに対して収束し、その和の関数fは

f ( x ) = { 0 ( x = 0 ) 1 ( x ≠ 0 )

である。