数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 無現等比級数 直角三角形、内接する正方形、辺の長さ、面積の総和、相似、比

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問27の解答を求めてみる。

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相似な三角形の辺の長さの比を考えれば、

A C : A 1 C 1 = A B : ( A B - A A 1 ) A C : A 1 C 1 = A B : ( A B - A 1 C 1 ) b : A 1 C 1 = c : ( c - A 1 C 1 ) b ( c - A 1 C 1 ) = c A 1 C 1 ( b + c ) A 1 C 1 = b c A 1 C 1 = b c b + c = b 1

2

各辺の長さについて。

b n = b c b + c b b n - 1 = c b + c b n - 1

よって、 正方形

A n A n C n D n

の面積は、

( A n C n ) 2 = ( c b + c ) 2 b n - 1 2

よって、問題の正方形の和の部分和は、 初項、公比がそれぞれ

k = 1 n b 1 2 ( ( c b + c ) 2 ) n - 1
k = 1 n - 1 ( b k c k b k + c k ) 2
b 1 2 = ( b c b + c ) 2 ( c b + c ) 2

の等比級数。

よって、求める無限等比級数の和は、

( b c b + c ) 2 · 1 1 - ( c b + c ) 2 = ( b c b + c ) 2 ( b + c ) 2 ( b + c ) 2 - c 2 = ( b c ) 2 b 2 + 2 b c = b c 2 b + 2 c