無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数直角三角形、内接する正方形、辺の長さ、面積の総和、相似、比

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問27の解答を求めてみる。

相似な三角形の辺の長さの比を考えれば、

\begin{array}{l} A C : A_{1} C_{1} = A B : (A B - A A_{1}) \\ A C : A_{1} C_{1} = A B : (A B - A_{1} C_{1}) \\ b : A_{1} C_{1} = c : (c - A_{1} C_{1}) \\ b (c - A_{1} C_{1}) = c A_{1} C_{1} \\ (b + c) A_{1} C_{1} = b c \\ A_{1} C_{1} = \frac{b c}{b + c} = b_{1} \end{array}

各辺の長さについて。

b_{n} = \frac{\frac{b c}{b + c}}{b} b_{n - 1} = \frac{c}{b + c} b_{n - 1}

よって、正方形

A_{n} A_{n} C_{n} D_{n}

の面積は、

{(A_{n} C_{n})}^{2} = {(\frac{c}{b + c})}^{2} b_{n - 1}^{2}

よって、問題の正方形の和の部分和は、初項、公比がそれぞれ

\sum_{k = 1}^{n} b_{1}^{2} {({(\frac{c}{b + c})}^{2})}^{n - 1}

\sum_{k = 1}^{n - 1} {(\frac{b_{k} c_{k}}{b_{k} + c_{k}})}^{2}

\begin{array}{l} b_{1}^{2} = {(\frac{b c}{b + c})}^{2} \\ {(\frac{c}{b + c})}^{2} \end{array}

の等比級数。

よって、求める無限等比級数の和は、

\begin{array}{l} {(\frac{b c}{b + c})}^{2} \cdot \frac{1}{1 - {(\frac{c}{b + c})}^{2}} \\ = {(\frac{b c}{b + c})}^{2} \frac{{(b + c)}^{2}}{{(b + c)}^{2} - c^{2}} \\ = \frac{{(b c)}^{2}}{b^{2} + 2 b c} \\ = \frac{b c^{2}}{b + 2 c} \end{array}