無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 無現等比級数 直角三角形、内接する正方形、辺の長さ、面積の総和、相似、比 新装版 数学読本4 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問27の解答を求めてみる。 1相似な三角形の辺の長さの比を考えれば、 A C : A 1 C 1 = A B : ( A B - A A 1 ) A C : A 1 C 1 = A B : ( A B - A 1 C 1 ) b : A 1 C 1 = c : ( c - A 1 C 1 ) b ( c - A 1 C 1 ) = c A 1 C 1 ( b + c ) A 1 C 1 = b c A 1 C 1 = b c b + c = b 1 2各辺の長さについて。 b n = b c b + c b b n - 1 = c b + c b n - 1 よって、 正方形 A n A n C n D n の面積は、 ( A n C n ) 2 = ( c b + c ) 2 b n - 1 2 よって、問題の正方形の和の部分和は、 初項、公比がそれぞれ ∑ k = 1 n b 1 2 ( ( c b + c ) 2 ) n - 1 ∑ k = 1 n - 1 ( b k c k b k + c k ) 2 b 1 2 = ( b c b + c ) 2 ( c b + c ) 2 の等比級数。よって、求める無限等比級数の和は、 ( b c b + c ) 2 · 1 1 - ( c b + c ) 2 = ( b c b + c ) 2 ( b + c ) 2 ( b + c ) 2 - c 2 = ( b c ) 2 b 2 + 2 b c = b c 2 b + 2 c