無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数漸化式、階差数列

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問28の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1} + 2 a_{n}}{3} \\ a_{n + 2} - a_{n + 1} = \frac{a_{n + 1} + 2 a_{n}}{3} - a_{n + 1} \\ a_{n + 2} - a_{n + 1} = - \frac{2}{3} (a_{n + 1} - a_{n}) \end{array}

よって、数列

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

の階差数列は、初項

a_{2} - a_{1} = 1

公比

\frac{2}{3}

の等比数列なので、その一般項は、

b_{n} = {(- \frac{2}{3})}^{n - 1}

よって、

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} \\ = 0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {(- \frac{2}{3})}^{k - 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} {(- \frac{2}{3})}^{k - 1} \end{array}

ゆえに、求める数列の極限は、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n} \\ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n - 1} {(- \frac{2}{3})}^{k - 1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{2}{3})}^{n - 1} \\ = \frac{1}{1 - (- \frac{2}{3})} \\ = \frac{3}{5} \end{array}