無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数和と部分和の差、対数

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問25の解答を求めてみる。

問題の数列の一般頃。

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

第 n 頃までの部分和。

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{n} = \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

無限級数の和。

S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = 2

無限級数の和と第n頃までの引分和の差。

\begin{array}{l} S - S_{n} = 2 - 2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) \\ = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \end{array}

これが

1 0^{- 4}

より小さくなる自然数nを求める。

{(\frac{1}{2})}^{n - 1} < 1 0^{- 4}

両辺の底が10な対数をとる。

\begin{array}{l} \log_{10} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} < \log_{10} 1 0^{- 4} \\ - (n - 1) \log_{10} 2 < - 4 \\ (n - 1) \log_{10} 2 > 4 \end{array}

問題の仮定の

\log_{10} 2 = 0.3010

より、

\begin{array}{l} 0.3010 (n - 1) > 4 \\ 0.3010 n > 4.3010 \\ n > 14. \cdot \cdot \cdot \end{array}

よって

n = 15