無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数周期関数、三角関数、余弦

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問29の解答を求めてみる。

a_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n} \cos \frac{n π}{2}

とおくと、

\begin{array}{l} a_{0} = 1 \\ a_{1} = 0 \\ a_{2} = - {(- \frac{1}{2})}^{2} = - {(\frac{1}{2})}^{2} \\ a_{3} = 0 \\ a_{4} = {(- \frac{1}{2})}^{4} = {(\frac{1}{2})}^{4} \\ a_{5} = 0 \\ a_{6} = - {(- \frac{1}{2})}^{6} = - {(\frac{1}{2})}^{6} \\ ⋮ \end{array}

よって、奇数の場合は0なので偶数の場合のみ考えればいい。
その数列の一般項は、

b_{n} = {(- 1)}^{n} {(\frac{1}{2})}^{2 n} = {(- 1)}^{n} {(\frac{1}{4})}^{n} = {(- \frac{1}{4})}^{n}

これは初頃、公比がそれぞれ

1, - \frac{1}{4}

の等比数列。

よって、求める無限級数の和は、

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{n} \cos \frac{n π}{2} = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{4})} = \frac{4}{5}