無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数収束する場合、公比、初項

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問23の解答を求めてみる。

公比は

\frac{x}{3}

よって

\begin{array}{l} | \frac{x}{3} | < 1 \\ | x | < 3 \end{array}

のとき収束し、無限級数の和は、

\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{x}{3})}^{n - 1} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{x}{3})}^{k} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} \\ = \frac{3}{3 - x} \end{array}

\begin{array}{l} | 1 - x | < 1 \\ 0 < x < 2 \end{array}

のとき収束し、その和は

\frac{2}{1 - (1 - x)} = \frac{2}{x}

\begin{array}{l} | 1 - x^{2} | < 1 \\ 0 < x^{2} < 2 \\ 0 < | x | < \sqrt{2} \end{array}

のとき収束し、和は、

\frac{x}{1 - (1 - x^{2})} = \frac{1}{x}

また

x = 0

のときも収束し、その和は0。