無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数公比、収束、発散、振動

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問21の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} S_{2 k + 1} = 3 \\ S_{2 k} = 0 \end{array}

よって収束しない、発散、振動。

2
収束し、無限等比級数の和は

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} S_{n} \\ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} {(- \frac{1}{5})}^{k - 1} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - {(- \frac{1}{5})}^{n}}{1 + \frac{1}{5}} \\ = \frac{5}{6} \end{array}

一般項。

a_{n} = 2 \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{n - 1}

公比について、

| \frac{\sqrt{3}}{2} | < 1

よって収束し、その和は

\frac{2}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4 (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 8 + 4 \sqrt{3}