無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数無現等比級数交代、平方

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無現等比級数の問22の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} r^{k - 1} \sum_{k = 1}^{n} {(- r)}^{k - 1} \\ = (1 + r + r^{2} + \dots + r^{n - 1}) (1 + (- r) + {(- r)}^{2} + \dots + {(- r)}^{n - 1}) \\ = 1 + (1 \cdot (- r) + r \cdot 1) + (1 \cdot {(- r)}^{2} + r \cdot (- r) + r^{2} \cdot 1) + \dots \\ + (1 \cdot {(- r)}^{n - 1} + r \cdot {(- r)}^{n - 2} + r^{2} \cdot {(- r)}^{n - 3} + \dots + r^{n - 1} \cdot 1) \\ + (r \cdot {(- r)}^{n - 1} + r^{2} \cdot {(- r)}^{n - 2} + \dots + r^{n - 1} \cdot (- r)) \\ + (r^{2} \cdot {(- r)}^{n - 1} + r^{3} \cdot {(- r)}^{n - 2} + \dots + (r^{n - 1}) \cdot r^{2}) \\ \dots \\ + r^{n - 1} \cdot {(- r)}^{n - 1} \\ = 1 + r^{2} + \dots + r^{2 n - 2} \end{array}

よって、

2 (\sum_{k = 1}^{n} r^{k - 1}) (\sum_{k = 1}^{n} {(- r)}^{k - 1}) - \sum_{k = 1}^{2 n - 1} {(- r)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{2 n - 1} r^{k - 1}

ゆえに、両辺の部分和の極限を考えれば、求める無限等比級数の和は、

\begin{array}{l} 2 S \sum_{k = 1}^{\infty} {(- r)}^{k - 1} - \sum_{k = 1}^{\infty} {(- r)}^{k - 1} = S \\ (2 S - 1) \sum_{k = 1}^{\infty} {(- r)}^{k - 1} = S \\ \sum_{k = 1}^{\infty} {(- r)}^{k - 1} = \frac{S}{2 S - 1} \end{array}

である。

1 の計算結果より、

(\sum_{k = 1}^{n} r^{k - 1}) (\sum_{k = 1}^{n} {(- r)}^{k - 1}) = \sum_{k = 1}^{n} {(r^{2})}^{k - 1}

ゆえに、両辺の部分和の極限を考えれば、求める無限等比級数の和は、

\sum_{k = 1}^{\infty} {(r^{2})}^{k - 1} = S \cdot \frac{S}{2 S - 1} = \frac{S^{2}}{2 S - 1}