無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算無限等比数列(r^n) 漸化式、変形

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、無限等比数列(r^n)の極限の問18の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} x + 1 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}

a_{n + 1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3} (a_{n} - \frac{3}{2})

また、

a_{1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}

よって、数列

{(a_{n} - \frac{3}{2})}_{n \in ℤ^{+}}

は初項

- \frac{1}{2}

公比

\frac{1}{3}

の等比数列である。

よって、その一般頃は、

a_{n} - \frac{3}{2} = (- \frac{1}{2}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

また、極限は、

\lim_{n \to \infty} (a_{n} - \frac{3}{2}) = 0

ゆえに、求める問題の数列の極限は

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{3}{2}

\begin{array}{l} x = 9 - \frac{1}{2} x \\ x = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \end{array}

a_{n + 1} - 6 = - \frac{1}{2} (a_{n} - 6)

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (a_{n} - 6) \\ = \lim_{n \to \infty} (a_{1} - 6) {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \\ = 0 \end{array}

よって、

\lim_{n \to \infty} a_{n} = 6

\begin{array}{l} x = \frac{3}{5} x - 2 \\ x = - 5 \end{array}

a_{n + 1} + 5 = \frac{3}{5} (a_{n} + 5)

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (a_{n} + 5) \\ = \lim_{n \to \infty} (2 + 5) {(\frac{3}{5})}^{n - 1} \\ = 0 \end{array}

よって、

\lim_{n \to \infty} a_{n} = - 5

\begin{array}{l} x = 2 x + 1 \\ x = - 1 \end{array}

a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (a_{n} + 1) \\ = \lim_{n \to \infty} (a_{1} + 1) 2^{n - 1} \\ = \infty \end{array}

よって、

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty