数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算無限等比数列(r^n) 平方根の近似値、漸化式

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、無限等比数列(r^n)の極限の問19の解答を求めてみる。

1

a_{n} > \sqrt{a}

と仮定すると、相加平均、相乗平均の大小を考えれば、

\begin{array}{l} \frac{\sqrt{α}}{a_{n}} \neq a_{n} \\ a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{α}{a_{n}}) > \sqrt{a_{n} \cdot \frac{α}{a_{n}}} = \sqrt{α} \end{array}

よって帰納法により、

a_{n} > \sqrt{α}

が成り立つ。

\begin{array}{l} a_{n} - a_{n + 1} \\ = a_{n} - \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{α}{a_{n}}) \\ = \frac{1}{2} (a_{n} - \frac{α}{a_{n}}) \\ = \frac{1}{2 a_{n}} (a_{n}^{2} - α) \\ > \frac{1}{2 a_{n}} (α - α) \\ = 0 \end{array}

よって、

a_{1} > a_{2} > \dots > a_{n} > a_{n + 1} > \dots

すなわち、数列

{(a_{n})}_{n \in ℤ^{+}}

ば単調減少列である。

\begin{array}{l} a_{n + 1} - \sqrt{α} \\ = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{α}{a_{n}}) - \sqrt{α} \\ = \frac{1}{2 a_{n}} (a_{n}^{2} + α - 2 \sqrt{α} a_{n}) \\ = \frac{1}{2 a_{n}} {(a_{n} - \sqrt{α})}^{2} \\ < \frac{1}{2 \sqrt{α}} {(a_{n} - \sqrt{α})}^{2} \\ < \frac{1}{2 \sqrt{α}} {({(\frac{a_{1} - \sqrt{α}}{2 \sqrt{α}})}^{2^{n - 1}})}^{2} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{α}} {(\frac{a_{1} - \sqrt{α}}{2 \sqrt{α}})}^{2^{(n + 1) - 1}} \end{array}

よって、帰納法により、

\begin{array}{l} n \in ℕ \ {0, 1} \\ α_{n} - \sqrt{α} < \frac{1}{2 \sqrt{α}} {(\frac{a_{1} - \sqrt{α}}{2 \sqrt{α}})}^{2^{n - 1}} \end{array}

が成り立つ。

また、仮定

a_{1} < 3 \sqrt{α}

より

\begin{array}{l} 2 \sqrt{α} - (a_{1} - \sqrt{α}) \\ = 3 \sqrt{α} - a_{1} \\ > 0 \end{array}

すなわち

\frac{a_{1} - \sqrt{α}}{2 \sqrt{a}} < 1

よって、

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{α}} {(\frac{a_{1} - \sqrt{α}}{2 \sqrt{a}})}^{2^{n - 1}} = 0

また、

α_{n} - \sqrt{α} > 0

ゆえに、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (a_{n} - \sqrt{α}) = 0 \\ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{α} \end{array}

が成り立つ。

（証明終）

2

\begin{array}{l} a_{2} = \frac{1}{2} (2 + \frac{3}{2}) = \frac{7}{4} ≒ 1.75 \\ a_{3} = \frac{1}{2} (\frac{7}{4} + \frac{3}{\frac{7}{4}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{49 + 48}{28} = \frac{97}{56} = 1.73214 \dots \\ a_{4} = \frac{1}{2} (\frac{97}{56} + \frac{3}{\frac{97}{56}}) = \frac{18817}{10864} = 1.73205 \dots \end{array}