数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数循環小数等比級数、公比、整数

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、循環小数の問32の解答を求めてみる。

1

\begin{array}{l} a_{1} = 0. a a \dots = \frac{a}{9} \\ a_{2} = 0.0 b b \dots = \frac{b}{90} \\ a_{3} = 0.00 c c . . . = \frac{c}{900} \end{array}

等比数列なので、

\begin{array}{l} \frac{b}{90} \cdot \frac{9}{a} = \frac{c}{900} \cdot \frac{90}{b} \\ \frac{b}{10 a} = \frac{c}{10 b} \\ 10 b^{2} = 10 a c \\ b^{2} = a c \end{array}

また、仮定より

1 < a < b < c < 9

これらを満たす整数a 、 b 、 cを考える。

a = 2, b = 4, c = 8

2

公比は

\frac{4}{10 \cdot 2} = \frac{2}{10}

0.0088 \dots = 0.001 + 0.00077 \dots