数学のブログ

整数 約数と倍数 2つの整数の積、最大公約数と最小公倍数の積、等式、互いに素の場合

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問11の解答を求めてみる。

1

g を a と b の最大公約数とする。

このときある整数

a ' , b ' ∈ ℤ

が存在して、

( a ' , b ' ) = 1 a = a ' g b = b ' g

よって、

a b = g ( a ' b ' g )

また、

a ' b ' g = ( a ' g ) b ' = a b ' a ' b ' g = a ' ( b ' g ) = a ' b

なので、

a ' b ' g

は、aとbの倍数、すなわちaとbの公倍数である。

よって、l を a と b の最小公倍数とすると

a ' b ' g

は l の倍数である。

l | a ' b ' g

ゆえに、ある整数

q ∈ ℤ

が存在して、

a ' b ' g = l q a ' b = l q a b ' = l q

また、lはaと bの公倍数なのである整数

a ' ' , b ' ' ∈ ℤ

が存在して、

l = a a ' ' = b b ' '

よって、

l q = a a ' ' q = b b ' ' q a b ' = a a ' ' q b ' = a ' ' q a ' b = b b ' ' q a ' = b ' ' q

ゆえに、

( a ' ' q , b ' ' q ) = 1

すなわち、

q = 1

よって、

a ' b ' g = l a b = g l = ( a , b ) [ a , b ]

が成り立つ。

（証明終）

2

1より、

[ a , b ] = 1 · [ a , b ] = ( a , b ) [ a , b ] = a b