数学のブログ

整数 約数と倍数 2つの整数の最大公約数、倍数の最大公約数、最小公倍数と倍数の最小公倍数

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問10の解答を求めてみる。

1

a と b の 最大公約数を gとする。

( a , b ) = g

このとき、 ある整数

a ' , b ' ∈ ℤ ( a ' , b ' ) = 1

が存在して、

a = a ' g b = b ' g

このとき、

m a = m a ' g = a ' g m m b = m b ' g = b ' g m

よって、

( m a , m b ) = g m = m ( a , b ) .

2

1より、

[ m a , m b ] = [ a ' g m , b ' g m ] = a ' b ' g m

aと bの最小公倍数をlとおくと

l = a ' b ' g

よって、

[ m a , m b ] = l m = m [ a , b ]