数学のブログ

整数約数と倍数整除、剰余、零、性質、和、倍数、整序環の部分環、積

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
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学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問3、4の解答を求めてみる。

3-1

\begin{array}{l} a \in ℤ \\ a \neq 0 \\ 0 = a \cdot 0 \end{array}

よって、

a | 0

（証明終）

3-2

a | b \land a | c

ならばある整数

q_{1}, q_{2} \in ℤ

が存在して、

\begin{array}{l} b = a q_{1} \\ c = a q_{2} \\ (b \pm c) = a q_{1} \pm a q_{2} = a (q_{1} \pm q_{2}) \end{array}

よって、

a | (b \pm c)

が成り立つ。

（証明終）

3-3

a | b

ならばある整数qが存在して、

\begin{array}{l} b = a q \\ n b = n a q = a (n q) \end{array}

よって、

a | n b

（証明終）

4-1

a | b \land c | d

ならばある整数

q_{1}, q_{2} \in ℤ

が存在して、

\begin{array}{l} b = a q_{1} \\ d = c q_{2} \\ b d = a q_{1} c q_{2} = (a c) (q_{1} q_{2}) \end{array}

よって、

a c | b d

（証明終）

4-2

a | b \land a | c

ならば、ある整数

q_{1}, q_{2} \in ℤ

が存在して、

\begin{array}{l} b = a q_{1} \\ c = a q_{2} \\ m b \pm n c \\ = m a q_{1} \pm n a q_{2} \\ = a (m q_{1} \pm n q_{2}) \end{array}

よって、

a | (m b \pm n c)

（証明終）